Prose_Intro to ARIMA Model

有关人口预测的模型和方法很多,不同方法和模型各有优缺点,这里用ARIMA模型与2019年某市统计年鉴示例常住人口的预测。ARIMA(p,d,q),p 为自回归阶数,d为时间序列称为平稳序列进行差分的阶数,q为移动平均阶数,其一般表达式为:
$$y_{1} = \mu + \varphi_{1}y_{t - 1} + \cdots + \varphi_{p}y_{t - p} + \theta_{1}\alpha_{t - 1} + \cdots + \theta_{q}\alpha_{t - q}$$

1.预测参数设定与估计

运用 ARIMA 模型建立模型通常从以下三个步骤出发:
第一步,时间序列平稳化处理:根据时间序列趋势图,如果所得出的时间序列不是平稳时间序列,应当采用差分运算将原时间序列变为平稳时间序列,几阶差分需要通过单方根检验得出最优差分阶数d。差分运算就是后一时间点减去当前时间如$y_{t}-y_{t-1}$,用D表示,定义为$D_{y_{t}}=y_{t}-y_{t-1}$。那么k阶差分可表示为:$y_{t}-y_{t-\mathrm{k}}=D_{k} y_{t}=\left(1-L^{k}\right) y_{t}=y_{t}-L^{k} y_{t}$,$L$为滞后算子,定义为$L_{y_{t}}=y_{t-1}$,则k阶之后算子定义为$L^{k} y_{t}=y_{t-k}$。
第二步,模型参数估计与检验:根据时间序列的自相关函数图(ACF)与偏相关函数图(PACF)的拖尾与截尾的性质,可以判断参数p与q。通过由低阶到高阶的尝试,选取最优的模型参数值;并进行残差的白噪声检验,选择合适的模型;如果未通过检验,应当重新选择模型。

AR(p) MA(q) ARMA(p,q),p>0,q>0
ACF 拖尾 滞后q阶后截尾 拖尾
PACF 滞后p阶后截尾 拖尾 拖尾

具体而言,当d=0,ARIMA(p,d,q)模型实际上就是ARMA(p,q)模型;当p=0,ARIMA(0,d,q)模型可以简记为IMA(d,q)模型;当q=0,ARIMA(p,d,0)模型可以简记为ARI(d,q)模型;当d=1,p=q=0时,ARIMA(0,1,0)模型为游走模型或称醉汉模型,是最简单的ARIMA模型。
第三步,模型预测:运用选择的适当的ARIMA 模型对未来某市常住人口人数进行预测并分析。

2.人口预测主要结果

根据预测,2019至2025年,某市常住人口、在业人口及第二、三产业在业人口的主要数据如图所示。
某市常住人口、在业人口及第二、三产业在业人口1979-2018年历史变迁暨2019-2025年趋势预测图
以常住人口为例,具体数据如下:
1979年至2018年某市常住人口人数如图左侧第一幅图所示,趋势图显示1979年至2018年某市常住人口总体呈上升趋势。
由于某市常住人口的时间序列有明显的递增趋势,所以它一定不是平稳序列,因此将原始数据进行差分运算。进行差分遵循从小到大这一特点,故现对该时间序列进行1阶差分运算,得出如图左侧第二幅图所示的趋势图。1阶差分时间序列图显示,1阶差分处理后的数据增减趋势趋于平稳,但基于R语言可以迅速得出,常住人口1阶差分的ADF检验P值大于0.05,差分1次后的时间序列仍非平稳序列,依据数据最优化及准确性原则,对1阶差分后的时间序列再做一次差分运算,常住人口2阶差分的ADF检验P值小于0.05,因此参数d取值为2。

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library('tseries')
library('fUnitRoots')
pop <- read.xlsx("predict_shenzhen.xlsx", sheetName = "sheet1", encoding = 'UTF-8')
par(mfrow=c(1,3))
plot(pop.fit,col=7,pch=2,lwd=2,type="o")
# acf(pop.fit,lwd=2,col=4)
adf.test(pop.fit) #tseries
adfTest(pop.fit) #fUnitRoots
pop.dif1=diff(pop.fit,difference=1)
plot(pop.dif1,col=7,pch=2,lwd=2,type="o")
# acf(pop.dif1,lwd=2,col=4)
adf.test(pop.dif1)
adfTest(pop.dif1)
pop.dif2=diff(pop.fit,difference=2)
plot(pop.dif2,col=7,pch=2,lwd=2,type="o")
adf.test(pop.dif2)
adfTest(pop.dif2) #d=2

某市1979-2018年常住人口1阶、2阶差分时间序列图
根据图“二阶差分后的自相关图与偏自相关图”,显示没有超过边界值。对平稳后的时间序列,即对1阶与2阶差分处理后的时间序列绘制自相关图与偏自相关图。

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par(mfrow=c(1,2))
acf(pop.dif2,lwd=2,col=4,lag.max=20)
pacf(pop.dif2,lwd=2,col=4,lag.max=20) # q=0 p=0
auto.arima(pop.fit,d=2,trace=T)

此时选择ARIMA(p,d,q)模型进行预测时,参数根据0、1、2从低阶到高阶选择,根据AIC准则作为选择最优值模型(表 某市常住人口ARIMA备选模型拟合统计量),比较发现模型ARIMA(0,2,0)的AIC=323.46最小,即此模型拟合效果最好。对残差序列进行白噪声检验,得出P值大于0.05,残差序列白噪声检验说明模型显著。判断ARIMA(0,2,0)模型对常住人口的时间序列拟合成功。
某市常住人口d=2自相关和偏自相关图

ARIMA(2,2,2) ARIMA(0,2,0) ARIMA(1,2,0) ARIMA(0,2,1) ARIMA(1,2,1)
AICc 329.6454 323.4607 324.5957 324.3949 324.4877

运用上述得到的ARIMA(0,2,0)模型对某市常住人口及置信水平分别为80%和95%双层置信区间进行预测,得到下表。

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pop.fit2=arima(pop.fit,order=c(0,2,0),method="ML")
pop.fit2
# white noise test
par(mfrow=c(1,1))
qqnorm(pop.fit2$residual)
qqline(pop.fit2$residual)
for(i in 1:3) print(Box.test(pop.dif2,type="Ljung-Box",lag=6*i))

最后,有80%的把握,2025年常住人口落入1399.77万人至1903.17万人区间内;有95%的把握,2025年常住人口落入1266.53万人至2036.41万人区间内。

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pop.fore=forecast(pop.fit2,h=7) # Forecast
pop.fore
预测值 80%置信区间 95%置信区间
2019 1352.49 1331.22,1373.76 1319.96,1385.02
2020 1402.32 1354.75,1449.89 1329.57,1475.07
2021 1452.15 1372.56,1531.75 1330.42,1573.88
2022 1501.98 1385.47,1618.50 1323.79,1680.17
2023 1551.81 1394.05,1709.57 1310.54,1793.09
2024 1601.64 1398.71,1804.57 1291.29,1911.99
2025 1651.47 1399.77,1903.17 1266.53,2036.41

另,统计数据的口径时常让人困扰。仅本文所使用的数据而言:(1)经普和年鉴的二、三产业占比的存在出入。如经普里2004到2008的二产业占比下降仅0.1%,但年鉴里下降3%;再如经普和年鉴2008、2013的二产业占比差异6%和8%(近10%)。(2)经普和年鉴的就业人口出入。经普2004、2008就业人口都比年鉴少;2013、2018就业人口比年鉴多。为了更贴近真实情况,可能是就业人口数据按经普2013、2018调整,然后平滑2008至2018的十年数据,但是具体占比仍按年鉴,这样做在整体就业人口上出入小,只影响二、三产业的人口数量。

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